【導讀】在本系列的第一篇文章中,我考察了濾波器相位與濾波器實 現拓撲結構的關系。在第二篇文章中,我考察了低通和高通 響應濾波器傳遞函數的相位偏移。這篇文章將重點討論帶通 響應。雖然濾波器主要針對幅度響應而設計，但在一些應用 中，相位響應可能非常重要。
出于考察目的，有源濾波器的傳遞函數實際上是濾波器傳遞 函數和放大器傳遞函數的級聯（見圖1）。
圖1. 濾波器作為兩個傳遞函數的級聯。
帶通傳遞函數
把低通原型的分子改為
結果將把濾波器變成一個帶通 函數。這會在傳遞函數內引入一個零點。分子中的一個s得到 一個零點，分母中的一個s得到極點。零點將產生頻率上升響 應，而極點將產生頻率下降響應。
二階帶通濾波器的傳遞函數變為：
此處的ω為濾波器增益峰值化時的頻率 (F0 = 2 π ω0)
H0 為電路增益（Q峰值化），定義為：
其中，H為濾波器實現的增益。
對帶通響應來說，Q有特殊意義。它是濾波器的選擇性。定義為：
其中，FL和FH為響應比最大值相差–3 dB時的頻率。
濾波器的帶寬 (BW) 定義為：
可以證明，諧振頻率 (F0)為 FL 和 FH的幾何平均值，這就意味著，F0 在對數尺度上將出現在FL 和 FH 二者的中點。
另需注意的是，在對數尺度上，帶通響應的波裙在 F0 左右始終是對稱的。
帶通濾波器對各種Q值的幅度響應如圖2所示。在此圖中，中心頻率的增益歸一化為1 (0 dB)。
圖2. 歸一化的帶通濾波器幅度響應
雖然本文主要關注相位響應，但了解下濾波器幅度響應也很有用。
這里需要提醒一下。帶通濾波器有兩種定義方式。窄帶情況為經典定義，如上文所示。然而，在某些情況下，如果高、低截止頻率相差很大，則帶通濾波器采用獨立的高通和低通部分進行構造。這里所說的相差很大是說至少相差2個倍頻程（頻率×4）。這就是寬帶情況。本文中，我們主要關注窄帶情況。對 于寬帶情況，可將濾波器視為獨立的高通和低通部分。
雖然帶通濾波器可用巴特沃茲、貝塞爾或切比雪夫等標準響應定義，但它們也通常按照其Q和F0定義。
帶通濾波器的相位響應為：
請注意，不存在單極點帶通濾波器。
圖3. 歸一化的帶通濾波器相位響應
圖3從中心頻率的1%到中心頻率的100倍對公式6進行估值。中心頻率的相移為0°。中心頻率為1，Q等于0.707。此Q與前一篇文章中使用的Q相同，但該篇文章中我們使用的是α。記 住，α = 1/Q。
觀察后發現，此曲線的形狀基本上與低通（和相應的高通） 的曲線形狀相同。但是，本例中相移從中心頻率下方90°開 始，在中心頻率處趨于0°，最后結束于中心頻率上方–90°。
在圖4中，我們考察了在Q不斷變化時帶通濾波器的相位響 應。觀察傳遞函數可以發現，相位變化可能發生在相對較大 的頻率范圍內，變化的范圍與電路的Q成反比。同樣，在觀察 后發現，曲線的形狀與低通（和高通）響應相同，僅范圍有 差異。
圖4. Q不斷變化時歸一化的帶通濾波器相位響應
放大器傳遞函數
之前的部分顯示，傳遞函數基本上就是單極點濾波器的傳遞 函數。雖然放大器的相移通常被忽視，但它可影響復合濾波 器的整體傳遞。本文隨機選擇了AD822 用于濾波器的仿真。 這樣選擇的部分原因是為了最大程度地降低對濾波器傳遞函 數的影響。這是因為，放大器相移的頻率明顯高于濾波器本 身的轉折頻率。AD822的傳遞函數如圖5所示，其信息直接取 自數據手冊。
圖5. AD822波特圖增益和相位。
示例1：Q = 20 的1 kHz 2 極點帶通濾波器
第一個示例開始時是作為帶通設計的濾波器。我們隨意選擇 了一個1 kHz的中心頻率和數值為20的Q。由于Q在較高的一 側，因此我們將使用雙放大器帶通 (DABP) 配置。同樣，這 是隨意選擇的。
我們使用參考1的設計公式。相應的電路如圖6所示：
圖6. 1 kHz、Q = 20的DABP帶通濾波器。
本文中我們主要關注相位，但我認為考察下幅度響應也很有用。
圖7. 1 kHz、Q = 20的DABP帶通濾波器幅度響應。
圖8所示為相位響應：
圖8. 1 kHz、Q = 20的DABP帶通濾波器相位響應。
應當注意，DABP配置為同相。圖8與圖3一致。
示例2：從1 kHz、3 極點0.5 dB 切比雪夫低通到帶通濾波器的轉換
濾波器原理以低通原型為基礎，低通原型可以其他形式表示。本例使用的原型是1 kHz、3極點、0.5 dB切比雪夫濾波器。選擇切比雪夫濾波器是因為，如果響應不正確，它可以 顯示得更清楚。例如，通帶中的紋波將不會排成一行。在本例中，巴特沃茲濾波器可能過于寬松。選擇3極點濾波器是為 了能夠轉換一個極點對和單個極點。
LP 原型的極點位置（來自參考1）為：
第一級為極點對，第二級為單極點。請注意，用α表示兩個完 全不同的參數的做法是不可取的。左側的α和β為復平面上的 極點位置。這些是轉換算法中使用的值。右側的α為1/Q，這 正是物理濾波器設計等式所希望看到的。
現在，低通原型被轉換成了帶通濾波器。參考1中列出的一系 列等式用于轉換。原型濾波器的每個極點都將轉換成一個極 點對。因此，轉換完成時，3極點原型將擁有6個極點（3個極 點對）。此外，原點處將有6個零點。不存在單極點帶通。
轉換過程的部分工作是指定可合成的濾波器的3 dB 帶寬。在 這種情況下，該帶寬將被設為500 Hz。產生的轉換結果如下：
實際上，先將更低的增益和Q部分放入串中可能很有用，因為 這可最大程度地提高信號電平處理能力。前兩級存在增益要 求的原因在于，相對于總濾波器中心頻率，它們的中心頻率 將會衰減（也就是說，它們將在其他部分的波裙上）。
由于結果得到的Q適中（小于20），因而將選用多級反饋拓撲 結構。我們使用參考1中多路反饋帶通濾波器的設計方程設計 濾波器。圖9顯示了濾波器本身的原理圖。
圖9. 1 kHz、6極點、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器。
圖10中可以看到完整濾波器的相移。曲線圖單獨顯示了第一 部分的相移（第1部分）、前兩個部分的組合相移（第2部 分），以及完整濾波器的相移（第3部分）。這些曲線顯示了 "實際"濾波器部分的相移，其中包括放大器的相移和濾波器 拓撲結構的反相。
圖10中有幾點細節需要注意。第一，相位響應具有累積性。第 一部分顯示了180°的相位變化（濾波函數的相移，忽視了濾波 器拓撲結構的相移）。第二部分顯示了因具有兩部分而產生的 360°相位變化，每個部分180°。記住，360° = 0°。第三部分顯 示了540°的相移，每個部分180°。還應注意，在高于10 kHz的 頻率處，我們開始看到相位因放大器響應而輕微滾降。還可以 看出，滾降也具有累積性，會隨著每個部分而增大。
圖10. 1 kHz、6極點、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器的相位響應。
在圖11中我們可以看到完整濾波器的幅度響應。
圖11. 1 kHz、6極點、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器的幅度響應。
結論
本文討論的是帶通濾波器的相移。在前面幾篇文章中，我們 考察了與濾波器拓撲結構相關的相移以及低通和高通拓撲結 構的相移。在后續文章中，我們將考察陷波濾波器和全通濾 波器。在最后一期，我們將總結并考察相移如何影響濾波器 的瞬態響應，同時還會考察群延遲、脈沖響應、階躍響應， 以及它們對信號的意義。
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