【導讀】本文討論了信號經過傅立葉變換所得頻譜的物理意義，其中著重于負頻率成分。許多信號與系統的教材中，都認為負頻率成分沒有物理意義。本文以多方面的實例證明了負頻率成分不但具有明確的物理意義，而且有重要的工程應用價值。文章還用Matlab程序演示了如何用幾何方法求傅立葉反變換，把集總頻譜合成為時域信號，從中也可鮮明地看出負頻率成分的意義。
1．負頻率與復信號
頻率f的原始定義是每秒出現的次數，可用以衡量機械運動、電信號、乃至任何事件重復出現的頻度，這當然不存在有“負”的概念。當用頻率描述圓周運動時（即進入了二維信號平面），產生了角頻率 ω”的概念，從機械旋轉運動出發，
定義為角速度，對于周期運動，角速度也就是角頻率。通常 θ以反時針為正，因此轉動的正頻率是反時針旋轉角速度，負頻率就是順時針旋轉角速度。正、負號是非常自然形成的，沒有物理意義的有無問題。電的單位向量（電壓或電流）圍繞原點的轉動，可以用
表示，這是在電路中都清楚的。θ的正負所代表的物理意義從未有什么爭議，它的導數
的物理意義不言自明，取正取負都不影響定義，為什么取負就會失去物理意義了呢？在信號與系統課程中，為了簡化問題，便于初學者掌握概念，開宗明義地把研究范圍限定于實 信 號 f(t) ， 也就是在電壓旋轉向量
中，只研究它在實平面或虛平面上的一個投影 sin(ωt)或 cos(ωt)，研究復信號
的特性與只研究實信號
定義為角速度，對于周期運動，角速度也就是角頻率。通常 θ以反時針為正，因此轉動的正頻率是反時針旋轉角速度，負頻率就是順時針旋轉角速度。正、負號是非常自然形成的，沒有物理意義的有無問題。電的單位向量（電壓或電流）圍繞原點的轉動，可以用表示，這是在電路中都清楚的。θ的正負所代表的物理意義從未有什么爭議，它的導數的物理意義不言自明，取正取負都不影響定義，為什么取負就會失去物理意義了呢？在信號與系統課程中，為了簡化問題，便于初學者掌握概念，開宗明義地把研究范圍限定于實 信 號 f(t) ， 也就是在電壓旋轉向量中，只研究它在實平面或虛平面上的一個投影 sin(ωt)或 cos(ωt)，研究復信號的特性與只研究實信號 sin(ωt)或 cos(ωt) 是兩個不同的層次。前者是反映信號在空間的全面特性，如圖1 所示。后者只研究了信號在一個平面（x-t或y-t組成的平面）上投影的特性。這就必然要丟掉一些重要的信息，以致 x=sin(ωt) 與sin(-ωt)在x-t平面中的波形沒有任何差別，這是人們對負頻率的意義產生疑問的直接原因之一。很顯然，在x-t或y-t的平面內，是不可能看出旋轉的。既看不到θ，更看不到ω。只有在x-y平面上才能看到這兩個旋轉參數。
2．復信號與實信號的頻譜
同樣，用ejtω或 sin(ωt)或 cos(ωt)作為核來做傅立葉變換所得的結果也是前者全面，后者片面。對實信號做傅立葉變換時，如果用指數為核，將得到雙邊頻譜。以角頻率為?的余弦信號為例，它有具有位于±?兩處的、幅度各為 0.5、相角為零的頻率特性。它的幾何關系可以用圖2表示。兩個長度為 0.5 的向量，分別以±?等速轉動，它們的合成向量就是沿實軸方向的余弦向量。而沿虛軸方向的信號為零。可見必須有負頻率的向量存在，才可能構成純 粹的實信 號 。 所以歐公式
是有其明確的幾何意義（即物理意義）的。在文獻[1]中給出了動畫，并給出了正、負數字頻率的幾何解釋。
是有其明確的幾何意義（即物理意義）的。在文獻[1]中給出了動畫，并給出了正、負數字頻率的幾何解釋。
3．雙邊頻譜的工程應用
正余弦信號中包括正負雙邊頻譜，不僅有物理意義，而且具有重要的工程價值。
1）二相異步電機的設計
根據這個概念，可以用兩路在空間正交的實信號來構成旋轉電磁場，設計電動機。上面給出了單位余弦波在正負兩個頻率上有幅度相等，相角均為零的兩根譜線；同樣，單位正弦波在同樣正負兩個頻率上也有幅度相等的譜線，不過它們的相角分別為±π/2。用立體圖表示如圖 3(a)。
如果把正弦和余弦兩個信號的正頻率成分設計得相等相反，則把它們合成以后，就只剩下負頻率成分，它就構成一個單純負向旋轉的電信號。為此可以把正弦信號在空間上轉動π/2，使它的正頻率譜線恰好與余弦信號的正頻率譜線反向，這樣兩個信號的合成（見圖3(b)）就成為一個只有負頻率譜線的信號，當然它在時域必然是復數信號。常用的二相異步電機就是這樣負向轉動的。而要使該電機正轉，則要使兩者的負頻率成分互相抵消，只保留其正頻率成分。
2）通信領域中的 Hilbert 變換
實信號的雙邊頻譜是對稱的。如果它的單邊頻帶寬 W，考慮到負頻率成分，實際占的頻譜區域就是±W，所以通信中要傳輸這樣的信號就需要占用 2W的頻帶寬度。為了節省頻帶，人們就發明了 Hilbert 變換，它可以把信號的正頻率頻譜移相-90°，把負頻率頻譜移相90°，然后再將這個信號移相90°與原信號相加，使兩者的負頻率成分互相抵消，正頻率成分加倍，構成一個沒有負頻率頻譜的復信號,（如同上面所說的二相異步電機那樣）。這個復信號的帶寬就只占 W 了。用這個方法，使頻帶節約了一半。在這里，可以看到負頻率成分的重要性，在傳送信號時。
它是不可或缺的部分。另外，也看到負頻率成分與復信號的密切關系。
3）產生任意的平面運動軌跡
文獻[5]曾提出根據傅立葉反變換原理產生平面運動軌跡的方法。從上面歐拉公式的幾何意義不難得知，傅立葉反變換公式其實表示了多個頻譜旋轉向量的合成，這些向量的頻率規定了它信號的實部，在 y軸上的投影是信號的虛部。
不難設計出一個程序來演示這個過程，在[2,3]中編寫了一個MATLAB 程序，程序名為 exn941。它把四個集總頻譜合成起來。假如給出這些頻譜分量如下：
a(1) = 1， ω(1) = 1； a(2) = 1， ω(2) = －1； a(3) = 0.5，ω(3) = 3；a(4) = 0.5，ω(4) = －4；
在此處，為了顯示復信號，有意把輸入頻譜設成不對稱的，見圖5(d)。于是讀者將看到四節桿的運動動畫，并得到桿系及其末端在復平面上的軌跡（圖4），改變了比例尺后為圖 5 (a)。將它在x，y兩方向的投影與時間軸的關系畫在圖5(b)和(c)中，就得到信號與系統課程中常見的實信號曲線。
輸入頻譜的幅度可以是負數，也可以是虛數，甚至可以是復數，它不僅反映了頻譜的大小，還反映了該向量的起始相位；頻譜的頻率則只能是有正負號的實數，正頻率和負頻率以及在該頻率上頻譜的意義在此不言自明。讀者可以做各種各樣的試驗。例如當兩組頻率具有倍頻關系時，得到的是周期信號，如果頻率比是無理數，那將得出非周期的信號；另外，這樣的演示只適用于集總頻譜，對于分布的頻譜密度，就要把它想象為若干小的集總頻譜的疊合。
總之有了這樣的形象演示，可以大大擴展時域信號與頻域譜之間關系的思維空間。
4）多普勒頻率
多普勒頻率又是一個負頻率的實例，如果信號的發射源向我們運動而來，那么多普勒頻率就是正頻率；如果信號的發射源向我們遠離而去，那么多普勒頻率就是負頻率，在這里正負頻率都是有明確物理意義的。多普勒頻率雖是一種差頻，它表現為合成信號的包絡頻率，因此仍然符合上述的原理，在實信號域只能求出多普勒頻率的大小，但檢測不出它的正負。要得到負頻率，必須從復信號域考慮。可見，不懂得這一點，就無法找到多普勒測速的原理框圖。
5）機械工程領域的應用
關于二維信號的傅立葉變換，國內早已有學者將其應用于工程領域，參見文獻[4]、 [5]。這些都是說明頻譜中負頻率物理意義的實際例證。
4．在對負頻率認識中存在的問題
頻譜中負頻率成分的物理意義往往不為某些人們理解，其主要原因是他們忘記了實信號平面內研究問題的局限性。因為在信號與系統課程中研究的信號通常只限于實信號。從實信號的x-t的波形圖上根本看不出頻率的轉向和正負，頻率只能表現為每秒信號重復的次數。分不清正負就以為是正頻率，只是一種習慣性的思維方法而已。
歸根到底，轉角和頻率的正負，必須在x-y平面或二維信號中才能觀察到。因為觀察的方法不對，看不到其意義，從而否認它的存在，這是認識論上的錯誤，不是科學的方法。這就和“瞎子摸象”的故事所說的那樣，摸象腿的人否認象有鼻子，毛病出在他的驗證方法。他老想在象腿（實信號域）上找到象鼻子（負頻率），當然也永遠找不到。正確的方法是必須換一個角度，摸別的部位（復信號域），才能得到全面的知識。
某些學者不承認負頻率是由于把“頻率是每秒鐘循環的次數”的陳舊概念絕對化，其實頻率的概念是不斷發展充實的。每秒次數的概念只能粗糙地研究信號外部形態，無法涉及信號每周期內部的細微波形特征，而這恰好是傅立葉變換的任務。從它的核已經可以清楚地看到，正是它摒棄（或發展）了原始的頻率定義，采用了角頻率的概念。單位是弧度/秒，而且具有明確的方向和正負號。其實頻率的概念還在繼續發展，進入到數字信號處理時又進一步出現了數字頻率，它的單位是弧度（去掉了分母上的“秒”），取值范圍是[-π，π]。它的物理意義已變為兩次采樣時刻之間向量轉過的角度，在文獻[1]中對此有詳細的說明。如果停留在“每秒次數”的舊概念上，那“數字信號處理”也就無法發展了。
5．從認識論角度糾正對負頻率的錯誤說法
這個問題是從教學中提出的，作者在旁聽“信號與系統”課程時，在老師的幻燈片上看到了 “關于雙邊譜，負頻率只有數學意義，沒有物理意義”的提法。我們覺得這是個錯誤，而且恐怕不是個別老師的想法。回來一查，果然如此，很多相當權威的主流教材上都這么寫。
其實，“×××只有數學意義，沒有物理意義”這樣的“命題”誰也沒有證明過，也是無法證明的，它最多只能算是猜想。只要有一個反例就可被推翻，本文已經舉出了多個反例，說明它是完全錯誤的。教師絕不該把錯誤的猜想說成真理，更不能寫在書上和幻燈片上去誤導學生。數學是更抽象、更深刻地描述物理現象的工具，而物理是實證的科學。限于條件，人們往往暫時還認識不到數學定理的物理意義。數學超前物理是科學史上多次出現的現象，比如虛數、非歐氏幾何等。這時應該努力去理解它，認識它，而不是輕易地放棄它、否定它。自己沒想通，沒找到的事物，不能說它不存在。給學生講課時，只能說“我們目前還沒有想通×××的物理意義”。這才能表明教師在科學上的嚴肅和謙遜，也有助于培養學生的科學鉆研和創新精神。
6．結束語
討論這個問題，不僅是理論上的探討，對于提高教學質量是有重大意義的。今天，信息技術如此的發展，很大程度是由于深入大量地開發頻譜資源的結果。在同學剛進入這個資源庫的時候，我們要引導他們對這個寶藏發生極大的興趣，非常珍惜這個寶藏，去深鉆，去挖掘它的每一點潛力。不能為了省事，為了堵住學生的好奇提問，輕率地、毫無根據地一句話就把頻譜的負頻率半邊扔掉了。在入門的時候，當然不可能把本文說的概念統統灌輸給學生，要順序漸進。但老師首先要有更寬廣的知識面和更科學的思維方法，教出的學生的才會具備更多的想象力和創造性。
作者：陳懷琛,方海燕 西安電子科技大學
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