【導(dǎo)讀】濾波器的主要功能是為了去除不想要的頻率成分，并且盡可能完整地保留需要的頻率成分。現(xiàn)今最常用的四種IIR濾波器分別為：巴特沃斯、貝塞爾、切比雪夫和橢圓濾波器。下面將詳細(xì)闡述以下這四種濾波器的特點(diǎn)以及區(qū)別。
通過(guò)判斷對(duì)一個(gè)脈沖激勵(lì)的響應(yīng)能否在足夠長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)完全衰減為0，可以將濾波器分為無(wú)限脈沖響應(yīng)（IIR）和有限脈沖響應(yīng)（FIR）兩種。
在上世紀(jì)初濾波器剛剛問(wèn)世的時(shí)候，其功能主要是通過(guò)電子電路的方式的方式實(shí)現(xiàn)（電阻、電容以及電感組成的電路，即模擬濾波器）。當(dāng)時(shí)濾波器的使用要求非常高，工程師們不但要有非常深厚的基礎(chǔ)理論知識(shí)，更要有足夠的使用經(jīng)驗(yàn)，才能正確地設(shè)計(jì)出合適的濾波器。
隨著科技的發(fā)展，尤其是計(jì)算機(jī)以及各種集成電路的發(fā)展，濾波器技術(shù)也越來(lái)越成熟，數(shù)字濾波器也隨之出現(xiàn)。這種濾波器使用一系列數(shù)字乘法器、加法器以及時(shí)延器來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)離散信號(hào)的濾波功能，在已知傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)出濾波器所需參數(shù)，然后寫(xiě)入其程序。
濾波器的主要功能是為了去除不想要的頻率成分，并且盡可能完整地保留需要的頻率成分。現(xiàn)今最常用的四種IIR濾波器分別為：巴特沃斯、貝塞爾、切比雪夫和橢圓濾波器。下面將詳細(xì)闡述以下這四種濾波器的特點(diǎn)以及區(qū)別。
巴特沃斯（Butterworth）濾波器
巴特沃斯濾波器首先由英國(guó)物理學(xué)家Stephen Butterworth于1930年發(fā)明出來(lái)。他曾經(jīng)指出：一個(gè)理想的濾波器不應(yīng)僅僅將不需要的成分剔除，同時(shí)也要能夠完整地保留需要的成分。這樣理想的濾波器在理論上本難以實(shí)現(xiàn)，但是Butterworth提出，如果使用足夠多合適的元器件將可以無(wú)限接近這種理想濾波器的要求。他在論文中指出，如果一個(gè)低通濾波器的截止頻率為1rad/s，那么可以將其幅值增益設(shè)計(jì)為
其中ω為角頻率，n為該濾波器的階次。
一個(gè)這樣的三階濾波器可以如圖示電路實(shí)現(xiàn)
這個(gè)電路的傳遞函數(shù)為
各元器件的值設(shè)置如下：C2=4/3 F，R4=1 Ω，L1=3/2 H，L3=1/2 H。所以傳遞函數(shù)可以寫(xiě)為
使用jω代替s之后，該傳遞函數(shù)的幅值增益即
所有的濾波器設(shè)計(jì)都是在原型濾波器（低通濾波器）的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，將傳遞函數(shù)的s用1/s替換，則可以得到高通濾波器；如果將低通和高通濾波器串聯(lián)即可得到帶通濾波器。N階Butterworth低通濾波器的傳函幅值增益如下
其中n為濾波器階數(shù)；ωc為截止頻率；G0為直流增益，即在頻率零點(diǎn)處的增益，如果是低通的話，一般設(shè)置為1。
根據(jù)此特性要求，巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)可由Butterworth多項(xiàng)式來(lái)實(shí)現(xiàn)，即
傳遞函數(shù)為
下圖為1階到6階截止頻率為1000Hz的Butterworth低通濾波器的幅值特性曲線
Butterworth低通濾波器
由圖可見(jiàn)，階數(shù)越高的濾波器在阻帶的衰減就越快，對(duì)于1階濾波器，其衰減速度為-6dB/oct或者-20dB/decade；2階為-12dB/oct，以此類推。當(dāng)然，階數(shù)越高，所需要的電子元器件也越多，設(shè)計(jì)越復(fù)雜，同時(shí)響應(yīng)特性也越好。
貝塞爾（Bessel）濾波器
該濾波器的命名來(lái)源于德國(guó)數(shù)學(xué)家Friedrich Bessel。1949年，W. E. Thomson將Bessel函數(shù)成功地應(yīng)用到濾波器設(shè)計(jì)上，所以Bessel濾波器也叫作Bessel-Thomson濾波器。同其他的濾波器一樣，Bessel濾波器的原型也是一個(gè)低通濾波器，它的傳遞函數(shù)是
其中θn(s)為反貝塞爾多項(xiàng)式（reverse Bessel polynomial），ω0為截至頻率
比如一個(gè)截止頻率為1rad/s的三階低通濾波器的傳遞函數(shù)為
其幅值增益為
1到6階截止頻率為1000Hz的bessel低通濾波器幅值特性如下圖
Bessel低通濾波器
同Butterworth濾波器一樣，其階數(shù)越高，阻帶衰減也就越快，但是從通帶的幅值響應(yīng)看來(lái)，其保留通帶部分的能力沒(méi)有Butterworth濾波器出色。Bessel濾波器具有最平坦的幅度和相位響應(yīng)。帶通的相位響應(yīng)近乎呈線性。Bessel濾波器可用于減少所有IIR濾波器固有的非線性相位失真。Bessel線性相位濾波器正是由于具有向其截止頻率以下的所有頻率提供等量延時(shí)的特性，才被用于音頻設(shè)備中。在音頻設(shè)備中，必須在不損害頻帶內(nèi)多信號(hào)的相位關(guān)系前提下，消除帶外噪聲。
切比雪夫（Chebyshev）濾波器
該濾波器根據(jù)俄羅斯數(shù)學(xué)家PafnutyChebyshev來(lái)命名的，因?yàn)樵O(shè)計(jì)該濾波器所使用的數(shù)學(xué)模型正是基于切比雪夫多項(xiàng)式。該濾波器的特點(diǎn)是過(guò)渡帶衰減快，和理想濾波器之間的誤差最小，但是在通帶（Type I）或者阻帶（Type II）存在幅度波動(dòng)。
I型切比雪夫?yàn)V波器：
這是運(yùn)用得最多得一種切比雪夫?yàn)V波器，其傳遞函數(shù)得幅值增益為
其中ω0是截止頻率；Tn是n階切比雪夫多項(xiàng)式
ε是通帶幅度波動(dòng)因子，它與幅值波動(dòng)δ之間得關(guān)系是
當(dāng)ε等于1時(shí)，該濾波器得復(fù)制波動(dòng)為3dB。
1到6階截止頻率為1000Hz的I型切比雪夫低通濾波器幅值特性如下圖
I型切比雪夫低通濾波器
II型切比雪夫?yàn)V波器：
相較于I型切比雪夫?yàn)V波器，II型切比雪夫的應(yīng)用就要少很多，原因主要有兩點(diǎn)，一是它在過(guò)渡帶衰減得沒(méi)有I型濾波器快，二是在濾波器的設(shè)計(jì)上需要更多的元器件。雖然其在通帶不再有幅值波動(dòng)，但是在阻帶卻出現(xiàn)了等幅值波動(dòng)，只有在極少數(shù)需要此特性的應(yīng)用場(chǎng)合才會(huì)被使用。其傳遞函數(shù)的的幅值增益為
1到6階截止頻率為1000Hz的II型切比雪夫低通濾波器幅值特性如下圖
II型切比雪夫低通濾波器
橢圓（Elliptic）濾波器
橢圓濾波器，有時(shí)候也被稱作Cauer濾波器。這種濾波器在通帶和阻帶都帶有等幅值波動(dòng)，當(dāng)然在過(guò)渡帶的衰減速度也最快。其傳遞函數(shù)為
其中，ω0為截止頻率；ε為波動(dòng)因子；ξ為elliptic rational function的選擇因子，值大于等于1。其中ε的值決定通帶的波動(dòng)幅值；ε和ξ一起決定阻帶的波動(dòng)。如果將ξ值設(shè)置為∞的話，那么Rn則會(huì)變?yōu)榍斜妊┓蚨囗?xiàng)式，那么該濾波器就變?yōu)榍斜妊┓騃型濾波器了；如果再此基礎(chǔ)上再將ε設(shè)為0，使ω0趨近于0，并讓εRn(ξ,1/ω0)=1的話，此濾波器就變?yōu)榘吞匚炙篂V波器；如果其他條件不變，使ξ0ω=α的話，則此濾波器則會(huì)變?yōu)榍斜妊┓騃I型濾波器。所以可以說(shuō)上面的兩種濾波器都可以通過(guò)限制橢圓濾波器的某些參數(shù)而得到。但也正因如此，橢圓濾波器的設(shè)計(jì)較上面的兩種濾波器要復(fù)雜一些，應(yīng)用場(chǎng)合也要少一些。
1到6階截止頻率為1000Hz的橢圓低通濾波器幅值特性如下圖
橢圓低通濾波器
濾波器對(duì)比
巴特沃斯濾波器：
使用范圍最廣，因?yàn)槠渫昝赖乇４媪送◣?nèi)的信號(hào)，并且在阻帶內(nèi)也沒(méi)有波動(dòng)，過(guò)度區(qū)域的衰減速度雖然比不上切比雪夫?yàn)V波器以及橢圓濾波器，但是也不算最慢；
貝塞爾濾波器：
雖然在通帶和阻帶內(nèi)都沒(méi)有波動(dòng)，但是保留通帶信號(hào)的能力以及過(guò)渡帶衰減速度都沒(méi)有巴特沃斯卓越；
切比雪夫?yàn)V波器：
和理想濾波器的誤差最小，所以應(yīng)用場(chǎng)合較多，尤其是I型切比雪夫?yàn)V波器，如果能夠?qū)⑵洳▌?dòng)因子設(shè)置得盡量小的話，其性能甚至比巴特沃斯濾波器要高，但同時(shí)也對(duì)元器件的要求非常高。
下圖為不同的6階低通濾波器的幅值曲線：
不同濾波器對(duì)比
ArtemiS SUITE里的IIR濾波器
在ArtemiS SUITE的濾波池中可直接調(diào)用IIR濾波器，如下圖。
有三種IIR濾波器可供選擇，分別為切比雪夫I型、貝塞爾以及巴特沃斯濾波器。對(duì)于不同類型的濾波器可自定義參數(shù)。比如對(duì)于巴特沃斯濾波器需要定義截止頻率和濾波器階數(shù)，如果是帶通或者帶阻，還需要確定通帶/阻帶帶寬；如果是切比雪夫?yàn)V波器的話，還需要確定波動(dòng)值。
在最下方還可以直觀地看到該濾波器的頻響曲線，使設(shè)計(jì)濾波器的過(guò)程更加直觀準(zhǔn)確。
當(dāng)然ArtemiS可以實(shí)現(xiàn)的功能不僅僅是這些，如果勾選上Parametric選項(xiàng)的話，它還可以實(shí)現(xiàn)參數(shù)濾波器的功能，即原信號(hào)其他頻率部分不變，只對(duì)感興趣的帶寬內(nèi)的信號(hào)作加強(qiáng)/抑制。（只在highpass，lowpass和bandpass時(shí)可選）。
除此之外ArtemiS還提供階次跟蹤濾波的功能，軟件將會(huì)自動(dòng)識(shí)別所感興趣階次的頻率并進(jìn)行濾波，在這種情況下將不必自定義截止頻率。
來(lái)源：海德聲科
