【導(dǎo)讀】本文討論了一些重要的FFT特性，解釋了如何利用這些特性設(shè)置FFT以實(shí)現(xiàn)高效的分析。等下次你要在示波器中使用FFT時(shí)希望能助你一臂之力。
本文討論了一些重要的FFT特性，解釋了如何利用這些特性設(shè)置FFT以實(shí)現(xiàn)高效的分析。
快速傅里葉變換（FFT）是20世紀(jì)70年代微處理器進(jìn)入商業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)首次出現(xiàn)的。從昂貴的實(shí)驗(yàn)室型號(hào)到最便宜的業(yè)余型號(hào)，現(xiàn)在幾乎每一臺(tái)示波器都能提供FFT分析功能。FFT是一種功能強(qiáng)大的工具，高效使用FFT要求人們對(duì)FFT有一定的研究。本文將介紹如何設(shè)置FFT和高效使用FFT，F(xiàn)FT的技術(shù)原理這里不再贅述。
FFT是一種能夠縮短離散傅里葉變換（DFT）計(jì)算時(shí)間的算法，也是一種用于在頻域（幅度和相位與頻率的關(guān)系）中查看所采集的時(shí)域（幅度與時(shí)間）數(shù)據(jù)的分析工具。FFT給數(shù)字示波器增加了頻譜分析功能。
觀察圖1中的上半部分曲線(xiàn)，你看到的是一個(gè)經(jīng)過(guò)幅度調(diào)制的載波，它使用梯形脈沖作為調(diào)制函數(shù)。在看圖1中的這個(gè)時(shí)域圖時(shí)，如果讓你告訴我信號(hào)的帶寬，你可能一時(shí)答不上來(lái)。但如果你對(duì)這個(gè)信號(hào)進(jìn)行FFT處理，就能得到另外一個(gè)視角。這個(gè)信號(hào)有一個(gè)線(xiàn)性?huà)呙璧念l率，帶寬用光標(biāo)標(biāo)記出來(lái)了，是4.7MHz。這正是示波器中增加FFT功能的原理，它是從另外一個(gè)角度來(lái)看同樣的數(shù)據(jù)。
圖1：上面的時(shí)域圖顯示了脈沖調(diào)制的射頻載波，下方的頻域圖顯示了在997MHz和1002MHz之間均勻分布的載頻
FFT頻帶寬度和分辨率帶寬
在最早的電路課程中，你應(yīng)該學(xué)過(guò)周期信號(hào)的頻率（頻域）是周期（時(shí)域）的倒數(shù)。同樣，這個(gè)關(guān)系貫穿在整個(gè)FFT設(shè)置過(guò)程中。
設(shè)置FFT最好從選擇分辨率帶寬（RBW）開(kāi)始，因?yàn)樗c單參調(diào)整有關(guān)。RBW （Δf）是顯示FFT頻率軸的增量步距。在時(shí)域中，采樣周期決定了樣本之間的時(shí)間間隔。而在頻域中，RBW是頻譜圖中相鄰“單元”之間的頻率差值。RBW是時(shí)域記錄長(zhǎng)度（也稱(chēng)為采集時(shí)間）的倒數(shù)，如圖2所示。你可以用示波器的水平刻度或時(shí)間/格參數(shù)設(shè)置來(lái)控制RBW。圖1中的采集時(shí)長(zhǎng)是20μs，頻譜圖中的RBW是它的倒數(shù)，即50kHz。
圖2：頻譜的分辨率帶寬是時(shí)域記錄長(zhǎng)度或采集時(shí)間的倒數(shù)
設(shè)置FFT的下一步是確定頻域圖的寬度——FFT中最高頻率和最低頻率之差。注意，F(xiàn)FT通常從0 Hz開(kāi)始，一直到整個(gè)頻帶寬度。這與射頻頻譜分析儀有很大的區(qū)別，馬上我會(huì)講到。
FFT的頻帶寬度是示波器有效采樣率的一半（圖3）。時(shí)域中的最短時(shí)間增量——采樣周期——決定了頻域中的最大分量。同樣，頻域中的最小增量是時(shí)間記錄中最長(zhǎng)持續(xù)時(shí)間的函數(shù)。這符合時(shí)域和頻域之間的倒數(shù)關(guān)系。
圖3：頻譜寬度是示波器有效采樣率的一半
為了在頻域中取得更高的分辨率，必須增加采集的數(shù)據(jù)量，方法是增加時(shí)間/格設(shè)置值。這與在示波器的時(shí)域圖中增加時(shí)間分辨率的做法剛好是相反的。
從實(shí)用的角度看，時(shí)域記錄長(zhǎng)度是由示波器的時(shí)間/格參數(shù)值控制的。一旦你選擇了時(shí)間/格參數(shù)值來(lái)達(dá)到想要的分辨率帶寬，那么控制采樣率達(dá)到所需頻帶寬度的唯一方法是修改示波器的采集內(nèi)存長(zhǎng)度。現(xiàn)在事情似乎復(fù)雜起來(lái)了，確實(shí)是這樣。
最近，大多數(shù)高端示波器制造商都修改了FFT用戶(hù)界面，使它更類(lèi)似于標(biāo)準(zhǔn)的射頻頻譜分析儀，設(shè)置中心頻率和頻帶寬度時(shí)將分辨率帶寬作為一個(gè)參數(shù)。雖然這類(lèi)界面使得FFT使用起來(lái)更容易，但確實(shí)隱藏了FFT的基本功能，導(dǎo)致必須接受示波器設(shè)置的時(shí)間/格、采樣率和內(nèi)存長(zhǎng)度組合。根據(jù)這部分討論的一些規(guī)則，你可以手工設(shè)置FFT，并在設(shè)置中獲得更多的自由度。
垂直縮放
根據(jù)示波器的不同，F(xiàn)FT也許可以選擇垂直刻度，也許只能是固定的單一垂直格式。最常見(jiàn)的垂直格式是功率譜，它以功率為單位顯示垂直幅度，常用相對(duì)于1毫瓦的分貝表示（dBm），并在對(duì)數(shù)垂直刻度上顯示。這種選擇也是射頻頻譜分析儀功能的保留。實(shí)驗(yàn)室級(jí)別的示波器可以提供更多的數(shù)據(jù)，包括功率譜密度（PSD）、線(xiàn)性幅度、平方幅度、相位或?qū)崝?shù)/虛數(shù)分量。
PSD是歸一化為FFT分辨率帶寬的功率譜值。它的測(cè)量單位是dBm/Hz，代表單位帶寬上的功率。PSD在測(cè)量寬帶現(xiàn)象（如噪聲）時(shí)非常有用。幅度格式顯示示波器測(cè)量的線(xiàn)性單位的頻譜幅度，如伏特（V）或安培（A）。
幅度平方顯示顧名思義是將頻譜幅值顯示為幅度的平方值，單位可以是V²、A²等等，并且在歸一化為儀器輸入阻抗（通常是50Ω）時(shí)為功率測(cè)量提供線(xiàn)性縮放。歸一化是利用示波器的再縮放函數(shù)實(shí)現(xiàn)的，它允許乘以一個(gè)常數(shù)。對(duì)于50Ω來(lái)說(shuō)，幅度平方譜乘以0.02（即1/50），即對(duì)于50Ω輸入阻抗而言將單位改為瓦（V²/50）。
從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看FFT頻譜是一個(gè)復(fù)雜函數(shù)，幅值的顯示只是全貌的一半。FFT輸出由實(shí)數(shù)和虛數(shù)部分組成，一些示波器可以同時(shí)顯示這兩部分。作為實(shí)數(shù)分量和虛數(shù)分量的替代，許多示波器顯示FFT相位和幅值。這兩個(gè)成對(duì)的輸出格式（實(shí)數(shù)/虛數(shù)和幅值/相位）構(gòu)成了完整的FFT。計(jì)算反向FFT時(shí)要求實(shí)數(shù)/虛數(shù)分量，在機(jī)械應(yīng)用（如振動(dòng)測(cè)量）中它們更常用，幅度/相位格式在電氣測(cè)量中也常見(jiàn)到。圖4顯示了一個(gè)方波的功率譜幅值/相位和實(shí)數(shù)/虛數(shù)分量的例子。
圖4：一個(gè)方波的FFT的功率譜幅值、相位、實(shí)數(shù)和虛數(shù)分量
相位譜使用垂直單位度，實(shí)數(shù)和虛數(shù)格式使用與源通道相同的垂直單位，在本例中是mV。對(duì)于類(lèi)似這種方波的周期性波形，相位、實(shí)數(shù)和虛數(shù)格式只在基頻和諧波頻率點(diǎn)有有效值。
加權(quán)函數(shù)
示波器中實(shí)現(xiàn)的FFT具有有限的記錄長(zhǎng)度，這將在頻譜顯示中引起問(wèn)題，原因是獲取的波形的起點(diǎn)和終點(diǎn)的連續(xù)性問(wèn)題。圖5顯示了起點(diǎn)和終點(diǎn)是如何影響頻譜形狀的。
圖5：起點(diǎn)和終點(diǎn)的邊界條件將影響信號(hào)經(jīng)FFT處理之后的頻譜形狀
圖5的上面兩個(gè)波形中，所采集的信號(hào)頻率是采樣率的因數(shù)，獲取的波形中存在整數(shù)的周期性，起點(diǎn)和終點(diǎn)處于相同的幅度，結(jié)果生成的頻譜非常窄。在下面兩個(gè)波形中，所采集的信號(hào)的頻率不是采樣速率的因數(shù)，起點(diǎn)和終點(diǎn)位于不同的電平。
這將導(dǎo)致時(shí)間記錄的不連續(xù)性。生成的頻譜變得更寬，峰值電平更低，原因是頻譜擴(kuò)展（也稱(chēng)為泄漏），即采集信號(hào)的能量被擴(kuò)展到了相鄰頻率單元。更低的、與頻率有關(guān)的峰值響應(yīng)被稱(chēng)為“尖樁籬柵”效率或扇形損耗。加權(quán)（開(kāi)窗）有助于最大限度地減小這些效應(yīng)。
加權(quán)是將獲取的波形乘以一個(gè)窗口函數(shù)，通過(guò)調(diào)制將端點(diǎn)變?yōu)榱恪４翱诤瘮?shù)的形狀決定了頻譜響應(yīng)，包括頻譜線(xiàn)的形狀和任何邊帶的幅度。常用加權(quán)函數(shù)的特征如表1所示。
表1 常見(jiàn)FFT加權(quán)（窗口）函數(shù)的特征
這張表對(duì)每個(gè)窗口最大限度減小旁瓣和扇形損耗的能力進(jìn)行了總結(jié)。圖6顯示了在相同輸入信號(hào)條件下窗口函數(shù)對(duì)譜線(xiàn)的影響。
圖6：這個(gè)屏幕圖像比較了在相同輸入信號(hào)條件下不同加權(quán)函數(shù)對(duì)頻譜響應(yīng)的影響
譜線(xiàn)變寬可以減小扇形損耗，這是有意義的，因?yàn)橄噜弳卧械男盘?hào)會(huì)在更高幅度點(diǎn)重合，以獲得更寬的響應(yīng)，并最大限度地減小扇形損耗。
窗口函數(shù)的選擇取決于具體需求。如果你要測(cè)量比采集窗口小的瞬變，那么不要使用窗口函數(shù)，因?yàn)轭l譜峰值的幅度將根據(jù)采集窗口中的瞬態(tài)位置發(fā)生改變。在這種情況下，矩形窗口（無(wú)加權(quán)）是最好的選擇。越窄的窗口響應(yīng)可以提供越好的頻率分辨率和更寬的響應(yīng)——Blackman Harris或平頂窗口——產(chǎn)生更為精確的幅度測(cè)量結(jié)果。如果你要兩者兼顧，一個(gè)好的折衷方案是Von Hann或Hamming窗口。
頻域平均
平均操作可以用來(lái)改善采集信號(hào)的信噪比，并且通常要求多次采集。平均可以在時(shí)域完成，也可以在頻域完成。與觸發(fā)事件不同步的信號(hào)，比如噪聲，將與平均次數(shù)呈正比衰減。圖7是頻域平均的一個(gè)例子。
圖7：頻域平均可以改善信噪比，并提供更大的動(dòng)態(tài)測(cè)量范圍。有噪信號(hào)FFT在經(jīng)過(guò)許多次采集的平均后可以消除噪聲，從而看到更低電平的諧波
頻域中的平均是將多次采集的每個(gè)頻率單元的內(nèi)容累加起來(lái)然后除以采集次數(shù)實(shí)現(xiàn)的。那些與采集不同步的信號(hào)將被平均為零，而同步信號(hào)則連續(xù)累加。在圖7中，有噪信號(hào)的FFT包含頻譜被擴(kuò)展的噪聲分量，這些噪聲隱藏了低電平的諧波。平均有助于提高信噪比，減少噪聲，使得諧波分量可見(jiàn)。以同樣的方式，那些與采集不同步的信號(hào)幅度也將降低。
設(shè)置實(shí)例
考慮需要在一個(gè)4GHz帶寬的示波器上設(shè)置FFT，其頻帶寬度是10MHz，中心頻率是2.48GHz，分辨率帶寬為10kHz，用于分析一個(gè)連續(xù)的周期性信號(hào)。根據(jù)上述討論，只需簡(jiǎn)單地設(shè)置示波器的時(shí)間/格參數(shù)就能完成分辨率帶寬的設(shè)置。10kHz的分辨率帶寬要求采集或捕獲時(shí)間為100μs，或者時(shí)間/格參數(shù)設(shè)為10μs /格。還應(yīng)設(shè)置示波器的垂直靈敏度（電壓/格），以便信號(hào)占據(jù)至少90%的輸入范圍，盡量提高其動(dòng)態(tài)范圍。
FFT的頻帶寬度由采樣率控制。由于這個(gè)寬度必須包含2.48GHz信號(hào)頻率，因此必須大于這個(gè)頻率的兩倍。5GHz或更高的頻率應(yīng)該沒(méi)問(wèn)題。示波器的最大采樣率是20 GS/s。利用示波器的時(shí)基設(shè)置來(lái)調(diào)整采集內(nèi)存長(zhǎng)度，可以獲得想要的采樣率。在本例使用的示波器中，將內(nèi)存長(zhǎng)度設(shè)為1MS，可以實(shí)現(xiàn)10GS/s的采樣率和100μs的采集時(shí)間。詳細(xì)的FFT設(shè)置見(jiàn)圖8。
圖8：適合本例使用的主要FFT參數(shù)設(shè)置
數(shù)學(xué)函數(shù)F1的FFT欄包含一些主要的FFT設(shè)置，并被設(shè)置為顯示功率譜。由于信號(hào)被顯示為連續(xù)的，因此加權(quán)函數(shù)類(lèi)型可以選擇Von Hann窗口，它可以在頻率分辨率和幅度平坦度之間提供很好的折衷。
FFT欄顯示分辨率帶寬（Δf）為10kHz，寬度為5GHz。縮放欄可以讓你將中心頻率設(shè)為2.48GHz，水平刻度設(shè)為1MHz/格，如圖8中的F1軌跡所示。
